Rolf Aaberge, statistiker och nationalekonom vid Statistisk Sentralbyrå i Oslo börjar en artikel från 2007 med att enkelt konstatera att många studier av inkomstfördelningen använder Lorenzkurvan. Lorenzkurvan kan ses som en kumulativ distributionsfördelning (CDF) och Aaberge har själv i en tidigare artikel (i Social Choice and Welfare, 2000) använt denna egenskap för att förespråka en variant där man fokuserar på de första momenten av kurvan. Med "första moment" syftar han här på kurvans första karakteristika, i enlighet med matematikens momentbegrepp. Jag citerar Wikipedia om detta:
"Moments of a function in mathematics are certain quantitative measures related to the shape of the function's graph. For example, if the function represents mass density, then the zeroth moment is the total mass, the first moment (normalized by total mass) is the center of mass, and the second moment is the moment of inertia. If the function is a probability distribution, then the first moment is the expected value, the second central moment is the variance, the third standardized moment is the skewness, and the fourth standardized moment is the kurtosis."
Men approachen har, säger Aaberge, sina brister, framför allt att den inte lägger tillräckligt mycket vikt på vad som händer i den nedre delen av fördelningen:
"However, considered as a group these measures suffer from a drawback since none of them in general are particularly sensitive to changes that concern the lower part of the income distribution. The reason why the moments of the Lorenz curve in most cases are more sensitive to changes that take place in the central and upper part rather than in the lower part of the income distribution is simply due to the fact that the Lorenz curve has a convex functional form. Thus, even though the first three LC-moments in many cases jointly provide a good description of the inequality in an income distribution it would for informational reasons as well as for the sake of interpretation be preferable to employ a few measures of inequality that also prove to supplement each other with regard to sensitivity to transfers at the lower, the central and the upper part of the income distribution. To this end Section 2 provides arguments for using a specific transformation of the Lorenz curve, the scaled conditional mean curve, rather than the Lorenz curve as basis for introducing and justifying application of a few measures for summarizing inequality in income distributions."
Aaberge argumenterar alltså för att använda en anpassad variant av Lorenzkurvan, som han kallar "the scaled conditional mean curve". Detta mått har flera attraktiva egenskaper, säger han. För det första, en bekväm och transparent tolkning. För en viss nivå på u är M(u) ration mellan medelinkomsten för den fattigaste 100 * u andel av befolkningen och medelinkomsten överlag. Liksom Lorenzkurvan har den också en enkel, lättläst "jämlikhetskurva" -- vi ser båda i diagrammen ovan. För det andra:
"Second, the scaled conditional mean curve of a uniform (0,a) distribution proves to be the diagonal line joining the points (0,0) and (1,1) and thus represents a useful additional reference line. Thus, when a M-curve intersects the diagonal line once from above (single intersection) the corresponding distribution exhibits lower inequality than a uniform (0, a) distribution below the intersection point and higher inequality than a uniform (0, a) distribution above the intersection point. Note that incomes are uniformly distributed over (0, a) if any income in this interval occurs equally frequently."
För det tredje: de olika måtten i M-familjen är bundna av en enhetskvadrat.
Aaberge säger utifrån diagrammen 1 och 2 ovan att vi ser att M-måtten reagerar mer på förändringar i botten av fördelningen än vad Lorenzkurvan gör. [1] Han diskuterar också hur M lever upp till det klassiska kriteriet för ett ojämlikhetsmått, the Pigou-Dalton principle of transfers, som säger att en överföring av inkomst från en fattigare till en rikare person alltid ska öka den mätta ojämlikheten. (s. 309-310) Från detta går han över till diskussionen om vad han kallar "Lorenzfamiljen av ojämlikhetsmått", alltså en uppsättning mått som kan genereras ur en Lorenzkurva. Lorenzfamiljen är starkt relaterad till en del av "the extended Gini Family" som tidigare diskuterats av Donaldson och Weymark ("A single parameter generalization of the Gini indices of inequality", J of Economic Theory, 1980) och av Yitzhaki ("On an extension of the Gini inequality index", International Economic Review, 1983).
Han diskuterar relationen mellan de olika måtten. Diskussionen är teknisk och mycket tät men han säger bland annat att: "Aaberge [2] demonstrated that the Lorenz family of inequality measures as well as the
Bonferroni coefficient can be given explicit expressions in terms of social welfare and moreover are members of the “illfare-ranked single-series Ginis” introduced by Donaldson and Weymark [18] and discussed by Bossert." Och att de olika måttens sätt att vikta observationer från olika delar av fördelningen kan karakteriseras så här:
Tabellen presenterar alltså vilken vikt de tre måtten lägger vid förändringar i relationerna mellan inkomsterna på olika platser i fördelningen: (a) mellan 5:e percentilen och medianen, (b) mellan den 30:e percentilen och medianen, och (c) mellan den 95:e percentilen och medianen. Så i enkelt språk: tycker vi att det är viktigast med förändringar i botten av fördelningen (a) eller i toppen (c)? Alla tre mått i tabellen fäster faktiskt större vikt vid förändringar i botten än förändringar i toppen, men Bonferroni har en extrem preferens för lägre delar av fördelningen medan Ginin gör lite jämnare betoningar. [2]
Aaberge diskuterar utvecklingar av detta, och går sedan också vidare med att visa hur inkomstfördelningen i Norge 1986-1998 utvecklades enligt de tre måtten. Med C1 ökade ojämlikheten med 7,14 procent, med C2 (Gini) med 9,07 procent, och med C3 med 10,96 procent -- så vi förstår att mer hänt, relativt sett, i toppen av fördelningen eftersom ökningen av C3 blir större än den i C1.
Nästa sektion heter "Estimation and asymptotic distribution results" och går vidare till fördelningen som en CDF. Detta är en mycket matematisk sektion (s. 316-320) som jag skippar här. I sina slutsatser säger Aaberge att:
"This paper proposes to use a specific transformation of the Lorenz curve, called the scaled conditional mean curve, rather than the Lorenz curve as basis for choosing a few summary measures of inequality for empirical applications. The scaled conditional mean curve turns out to possess several attractive properties as an alternative interpretation of the information content of the Lorenz curve and furthermore proves to provide essential information on polarization in the population. The discussion in Section 3 demonstrates that the inequality measures C1, C2 and C3 define the first three moments of the scaled conditional mean
curve. Thus, jointly they may give a good summarization of inequality in the scaled conditional mean curve and consequently act as primary quantities for measuring inequality in distributions of income. Moreover, since C2 is the Gini coefficient and C1 and C3 prove to supplement the Gini coefficient with regard to focus on the lower and the upper part of the income distribution, it should be justified to call the group formed by these three inequality measures the Gini’s Nuclear Family. The paper also provides asymptotic distribution results for the empirical scaled conditional mean curve and the related family of empirical measures of inequality, including Gini’s Nuclear Family." (s. 320)
referens
Rolf Aaberge (2007) Gini’s nuclear family, Journal of Economic Inequality.
fotnot
[1] Här refererar han också återigen till Lorenzkurvans konvexa form: "In contrast to the Lorenz curve, which always is a convex function, the shape of the scaled conditional mean curve proves to be strongly related to the shape of the underlying distribution function. ..." (s. 309)
[2] Aaberge diskuterar själv tabellen så här: "As suggested by Table 1 W1 (C1) is more sensitive than W2 (C2) to changes in the
income distribution that concern the poor, whereas W2 (C2) is more sensitive than W3 (C3) to changes that occur in the lower part of the income distribution. For example, the weights in Table 1 demonstrate that the social weight of an additional Euro to a person located at the 5% decile is 4.3 times the weight of the median income earner when C1 (W1) is used as a measure of inequality (social welfare), whereas it is only 1.3 times the weight of the median earner when C3 (W3) is used as a measure of inequality (social welfare). As is suggested by Table 1 and is easily verified from Eq. 8, C1, C2 and C3 preserve first-degree M-curve and
Lorenz dominance and thus satisfy the Pigou–Dalton principle of transfers. However, to deal with situations where M-curves or Lorenz curves intersect a more demanding principle than the Pigou–Dalton transfer principle is required. An obvious idea is to introduce a principle that places more emphasis on a given transfer the lower it occurs in the income distribution. Kolm [33], [34] and Mehran [35] proposed two alternative versions of such a principle; the principle of diminishing transfers which requires the income difference between receivers and donors to be fixed and the principle of positional transfer sensitivity which requires a fixed difference in ranks between receivers and donors." (s. 313)
Inga kommentarer:
Skicka en kommentar