Rolling regressions och time-varying coefficient modelling

Det är ofta ett orimligt antagande i regressionsanalys att effekterna av de oberoende variablerna ska vara oföränderliga över tid. Hur ska man då modellera föränderliga effekter? Luca Zanin och Giampiero Marra använder i en ny artikel två konkurrerande metod: "rolling regression" och "time-varying coefficients regression".

Rolling regression innebär att regressionen körs på en sekvens av subsamples som omfattar en angiven mängd år; om man till exempel anger "fönsterbredden" - rr kallas också moving window regression - till 7 år så kommer en ny koefficient att skattas för varje 7årsfönster. Koefficienterna kan därefter jämföras för att man ska se hur effekten/koefficienten varierar över tid. RR är alltså grundmodellen:

skattad på nytt för varje tidsfönster. (y är arbetslösheten, x är BNP, β är Okun-koefficienten, alltså hur mycket arbetslösheten minskar för en procent mer BNP-tillväxt).

Time varying coefficients regression är mer komplicerat och mer intellektuellt. Formen är:

Här tillåts β variera med smoothing-funktionen s som bygger på tidsvariabeln t och parametrarna δ. Antalet δ skrivs som q, och desto högre q desto precisare/närmre skattade koefficienter, och desto skakigare linjer när man plottar koefficienterna över tid. För att modellen inte ska överparametrisera så används en straff-term för att förhindra att q växer för mycket (s 95).


Zanin och Marra använder de två metoderna för att undersöka föränderligheten i "Okuns lag" över tid. Okuns lag, döpt efter ekonomen Arthur Okun, handlar om förhållandet mellan förändringen i BNP och förändringen i arbetslösheten. Givetvis bör överlag arbetslösheten minska när BNP ökar (förhållandet är negativt), men hur mycket kan variera över tid och mellan länder. Z och M kollar på detta i nio europeiska länder 1960-2009, med årliga data.

För sina rolling regressions sätter Zanin och Marra fönsterbredden till 14 år, vilket de hävdar överensstämmer med en konjunkturcykel (!) och stämmer överens med en tidigare studies modellering (Moosa 1997) (s 98). Resultaten ser ut så här:
 

Time varying coefficients-modellerna skattar Zanin och Marra med R-paketet mgcv. Resultaten ser ut så här:

Vi ser att koefficienterna från TVCM-modellerna är mycket jämnare än vad koefficienterna från RR är. Zanin och Marra hävdar att detta är en av de stora fördelarna med TVCM gentemot RR, att viktiga mönster i koefficienternas rörelse inte döljs av slumpmässiga kortsiktiga variationer. Den andra stora fördelen är att man med TVCM inte behöver ange hur lång tidsperiod som ska användas för att avgränsa varierande effekter, utan att modellen istället kan leta upp detta själv. De skriver i artikelns slutsatser:

 "the use of such an approach can yield parsimonious and smooth results, hence helping to reveal time-varying coefficient features that rolling regression can hardly detect due to spurious non-linear patterns in the estimates." (s 105)
och: "It also allowed us not to make any a priori assumptions on the functional shape of the relationship of interest but letting the data determine whether it was either linear or  non-linear and for which countries; the employed approach avoided having to choose a window size as required in rolling regression and taking a penalized regression spline approach, time-varying coefficients could be obtained for the whole period of observation. This was not possible using rolling regression." (s 106)

De substantiella slutsatserna i artikeln utgår från faktumet att det syns en klar tendens i plottarna ovan att Okun-förhållandet blir starkare negativt över tid, alltså att en viss ökning av BNP ger en större minskning av arbetslösheten i slutet av perioden än i början av perioden. Zanin och Marra förklarar detta med avregleringar av Europas arbetsmarknader under 1980- och 1990-talen.

Referens
Luca Zanin and Giampiero Marra, "Rolling regression versus time-varying coefficient modelling: An empirical investigation of the Okun's law in some Euro Area countries", Bulletin of Economic Research 1 2012